Forskjell mellom versjoner av «MA3402 Analyse på mangfoldigheter»

Revisjonen fra 18. des. 2008 kl. 12:03

Stokes' teorem er perlen i TMA4105 Matematikk 2, og danner i sin 1-, 2- og 3-dimensjonale reelle form grunnlaget for mye av kalkulus og dermed også fysikk. Men hvorfor skal det slutte etter tre stusselige dimensjoner?

Ved å definere alternerende former over endeligdimensjonale vektorrom, samt smash-produktet for slike, så glatte former over åpne menger i <math>\mathbb{R}^n</math> og ytre-derivasjon (sistnevnte generaliserer div, grad og curl), følger en opp med de Rham-kohomologi for åpne mengder. Dette generaliseres så naturlig til mangfoldigheter (TMA4190 Mangfoldigheter er for øvrig ikke nødvedig å ha tatt), hvor integrasjon defineres, slik at ender opp med "det ultimate Stokes' teorem":

<math> \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega. </math>

I forelesers egne ord: "Hvis en ikke synes dette er pent, bør en kanskje ikke studere matematikk..."

Faget egner seg godt til å ta parallelt med MA3403 Algebraisk topologi I, da de Rham-kohomologi er et av spesialtilfellene en kan fremstille fra teorien i det faget. Underveis er det også en del teknikker som overlapper (Mayer-Vietoris, visse lange eksakte sekvenser, osv.).