MA3402 Analyse på mangfoldigheter
| Foreleser: | Nils Baas |
|---|---|
| Semester: | Høst |
| Obligatorisk for: | Ingen |
| Evalueringsform: | Muntlig, 100% |
| Bøker: | Madsen, Tornehave: From Calculus to Cohomology: de Rham Cohomology and Characteristic Classes |
| Nettside: | http://www.math.ntnu.no/emner/MA3402/ |
Stokes' teorem er perlen i TMA4105 Matematikk 2, og danner i sin 1-, 2- og 3-dimensjonale reelle form grunnlaget for mye av kalkulus og dermed også fysikk. Men hvorfor skal det slutte etter tre stusselige dimensjoner?
Ved å definere alternerende former over endelig-dimensjonale vektorrom, samt smash-produktet for slike, så glatte former over åpne mengder i <math>\mathbb{R}^n</math> og ytre-derivasjon (sistnevnte generaliserer div, grad og curl), følger en opp med de Rham-kohomologi for åpne mengder. Dette generaliseres så naturlig til mangfoldigheter (TMA4190 Mangfoldigheter er for øvrig ikke nødvendig å ha tatt), hvor integrasjon defineres, slik at en ender opp med "det ultimate Stokes' teorem":
<math> \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega. </math>
I forelesers egne ord: "Hvis en ikke synes dette er pent, bør en kanskje ikke studere matematikk..."
Faget egner seg godt til å ta parallelt med MA3403 Algebraisk topologi I, da de Rham-kohomologi er et av spesialtilfellene en kan fremstille fra teorien i det faget. Underveis er det også en del teknikker som overlapper (Mayer-Vietoris, visse lange eksakte sekvenser, osv.).
