Forskjell mellom versjoner av «MA3402 Analyse på mangfoldigheter»
m (Kategorisering.) |
|||
| (5 midlertidige revisjoner av en annen bruker er ikke vist) | |||
| Linje 5: | Linje 5: | ||
|foreleser=[[Nils Baas]] | |foreleser=[[Nils Baas]] | ||
|eksamen=Muntlig, 100% | |eksamen=Muntlig, 100% | ||
| − | |bok={{Boklink|forfatter= | + | |bok={{Boklink|forfatter=Madsen, Tornehave|tittel=From Calculus to Cohomology: de Rham Cohomology and Characteristic Classes}} |
| − | + | ||
|nettside=http://www.math.ntnu.no/emner/MA3402/ | |nettside=http://www.math.ntnu.no/emner/MA3402/ | ||
| + | |semester=Høst | ||
}} | }} | ||
| − | {{ | + | [http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem#Special_cases Stokes' teorem] er perlen i [[TMA4105 Matematikk 2]], og danner i sin 1-, 2- og 3-dimensjonale reelle form grunnlaget for mye av kalkulus og dermed også fysikk. Men hvorfor skal det slutte etter tre stusselige dimensjoner? |
| + | |||
| + | Ved å definere alternerende former over endelig-dimensjonale vektorrom, samt smash-produktet for slike, så glatte former over åpne mengder i <math>\mathbb{R}^n</math> og ytre-derivasjon (sistnevnte generaliserer div, grad og curl), følger en opp med [http://en.wikipedia.org/wiki/de_Rham_cohomology de Rham-kohomologi] for åpne mengder. Dette generaliseres så naturlig til mangfoldigheter ([[TMA4190 Mangfoldigheter]] er for øvrig ''ikke'' nødvendig å ha tatt), hvor integrasjon defineres, slik at en ender opp med "det ultimate Stokes' teorem": | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega. | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | I forelesers egne ord: "Hvis en ikke synes dette er pent, bør en kanskje ikke studere matematikk..." | ||
| + | |||
| + | Faget egner seg godt til å ta parallelt med [[MA3403 Algebraisk topologi I]], da de Rham-kohomologi er et av spesialtilfellene en kan fremstille fra teorien i det faget. Underveis er det også en del teknikker som overlapper (Mayer-Vietoris, visse lange eksakte sekvenser, osv.). | ||
| + | |||
[[Category:Mattefag|Analyse på mangfoldigheter]] | [[Category:Mattefag|Analyse på mangfoldigheter]] | ||
[[Category:Høstfag|Analyse på mangfoldigheter]] | [[Category:Høstfag|Analyse på mangfoldigheter]] | ||
| + | [[Category:Fag|Analyse på mangfoldigheter]] | ||
Nåværende revisjon fra 18. nov. 2009 kl. 00:17
| Foreleser: | Nils Baas |
|---|---|
| Semester: | Høst |
| Obligatorisk for: | Ingen |
| Evalueringsform: | Muntlig, 100% |
| Bøker: | Madsen, Tornehave: From Calculus to Cohomology: de Rham Cohomology and Characteristic Classes |
| Nettside: | http://www.math.ntnu.no/emner/MA3402/ |
Stokes' teorem er perlen i TMA4105 Matematikk 2, og danner i sin 1-, 2- og 3-dimensjonale reelle form grunnlaget for mye av kalkulus og dermed også fysikk. Men hvorfor skal det slutte etter tre stusselige dimensjoner?
Ved å definere alternerende former over endelig-dimensjonale vektorrom, samt smash-produktet for slike, så glatte former over åpne mengder i <math>\mathbb{R}^n</math> og ytre-derivasjon (sistnevnte generaliserer div, grad og curl), følger en opp med de Rham-kohomologi for åpne mengder. Dette generaliseres så naturlig til mangfoldigheter (TMA4190 Mangfoldigheter er for øvrig ikke nødvendig å ha tatt), hvor integrasjon defineres, slik at en ender opp med "det ultimate Stokes' teorem":
<math> \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega. </math>
I forelesers egne ord: "Hvis en ikke synes dette er pent, bør en kanskje ikke studere matematikk..."
Faget egner seg godt til å ta parallelt med MA3403 Algebraisk topologi I, da de Rham-kohomologi er et av spesialtilfellene en kan fremstille fra teorien i det faget. Underveis er det også en del teknikker som overlapper (Mayer-Vietoris, visse lange eksakte sekvenser, osv.).
