TMA4225 Analysens grunnlag
| Foreleser: | Christian Skau |
|---|---|
| Obligatorisk for: | Ingen |
| Øvinger: | Frivillige |
| Lab: | Nei |
| Evalueringsform: | Midtsemesterprøve (20%) og skriftlig eksamen (80%) |
| Bøker: | Stein, Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces |
| Nettside: | http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4225/2007h/ |
Faget gir en introduksjon til målteori (både i <math>\mathbb{R}^d</math> og i abstrakte målrom) for mengder og funksjoner, samt grunnleggende integrasjonsteori.
Motivasjon
Et grunnleggende spørsmål som motiverer "et nytt integral" er: Gitt en følge av funksjoner
- <math>(f_n)_{n=1}^\infty,\quad f_n:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}</math>
som konvergerer til <math>f</math>, når er det sant at
- <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n = \int f,</math>
altså at "en kan trekke grensen inn i integralet"? Det viser seg at Riemanns integral ikke er tilstrekkelig til å besvare dette viktige spørsmålet.
For å definere Lebesgue-integralet, bygger en opp målteorien - først for mengder, deretter for funksjoner. Konseptet målet til en mengde gir presis betydning til løse begreper som lengde, areal og volum. På kjøpet får en da et rigid konsept av andre begreper som tidligere har vært gitt ved armvifting - hva er for eksempel "arealet under grafen"? Med Lebesgues integrasjonsteori på plass, kan en uten problem definere en måte å måle hvor "mye" volum som befinner seg under en viss kurve. Det er simpelthen Lebesgue-målet til mengden av punkter i <math>\mathbb{R}^{d+1}</math> området under grafen.
Bøker
Fagets anbefalte bok regnes av mange for å være god. Tidligere år har daværende foreleser (Eugenia Malinnikova) gitt følgende liste over alternative bøker:
