Forskjell mellom versjoner av «TMA4225 Analysens grunnlag»
m |
|||
| Linje 12: | Linje 12: | ||
Faget gir en introduksjon til målteori (både i <math>\mathbb{R}^d</math> og i abstrakte målrom) for mengder og funksjoner, samt grunnleggende integrasjonsteori. | Faget gir en introduksjon til målteori (både i <math>\mathbb{R}^d</math> og i abstrakte målrom) for mengder og funksjoner, samt grunnleggende integrasjonsteori. | ||
| + | |||
| + | == Motivasjon == | ||
| + | Et grunnleggende spørsmål som motiverer "et nytt integral" er: Gitt en følge av funksjoner <math>(f_n)_{n=1}^\infty,\quad f_n:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} \cup \pm \infty</math> som konvergerer til <math>f</math>, når er det sant at | ||
| + | |||
| + | : <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n = \int f,</math> | ||
| + | |||
| + | altså at "en kan trekke grensen inn i integralet"? Det viser seg at Riemanns integral ikke er tilstrekkelig til å besvare dette viktige spørsmålet. | ||
| + | |||
| + | For å definere Lebesgue-integralet, bygger en opp målteorien - først for mengder, deretter for funksjoner. Konseptet målet til en mengde gir presis betydning til løse begreper som "lengde", "areal" og "volum". | ||
== Bøker == | == Bøker == | ||
Revisjonen fra 16. nov. 2007 kl. 00:40
| |||||||||||||||||||||||||
Faget gir en introduksjon til målteori (både i <math>\mathbb{R}^d</math> og i abstrakte målrom) for mengder og funksjoner, samt grunnleggende integrasjonsteori.
Motivasjon
Et grunnleggende spørsmål som motiverer "et nytt integral" er: Gitt en følge av funksjoner <math>(f_n)_{n=1}^\infty,\quad f_n:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} \cup \pm \infty</math> som konvergerer til <math>f</math>, når er det sant at
- <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n = \int f,</math>
altså at "en kan trekke grensen inn i integralet"? Det viser seg at Riemanns integral ikke er tilstrekkelig til å besvare dette viktige spørsmålet.
For å definere Lebesgue-integralet, bygger en opp målteorien - først for mengder, deretter for funksjoner. Konseptet målet til en mengde gir presis betydning til løse begreper som "lengde", "areal" og "volum".
Bøker
Fagets anbefalte bok regnes av mange for å være god. Tidligere år har daværende foreleser (Eugenia Malinnikova) gitt følgende liste over alternative bøker:
