Forskjell mellom versjoner av «TFY4215 Innføring i kvantefysikk»

Revisjonen fra 6. nov. 2007 kl. 01:01

Kjemisk fysikk og kvantemekanikk er todelt. I mesteparten av semesteret foreleses kvantemekanikkdelen, som er en første introduksjon til kvantemekanikk. Faget danner grunnlaget for TFY4250 Atom- og molekylfysikk og TFY4205 Kvantemekanikk. De siste tre ukene brukes på kjemisk fysikk, der det man lærte i den første delen anvendes for å gi en dypere forståelse av kjemiske prosesser og molekylers geometri. Her benytter man kvantemekanikk og metoder som Hartree-Fock til å finne energetisk optimal geometri for molekyler.

Laben i kjemisk fysikk benytter SPARTAN, et program for å simulere kjemiske prosesser på kvantenivå.

Kort introduksjon

Å gi en introduksjon til kvantemekanikk bør overlates til foreleser, men jeg forsøker her å legge frem en liten sammenligning mellom kvantemekanisk og klassisk behandling av et svært enkelt problem.

Formulering av problemet

Det aktuelle systemet.

Tenk deg to vegger i avstand L fra hverandre og en perfekt elastisk sprettball med masse m som spretter mellom disse uten påvirking av gravitasjon eller andre ytre krefter. Problemet er av endimensjonal natur. Vi ønsker å se på systemets energi, som her simpelthen er ballens kinetiske energi, og vi ønsker å benytte både en klassisk og en kvantemekanisk betraktning. Det er viktig å merke seg at foruten akkurat idet ballen treffer en vegg og snur, så er dens kinetiske energi den samme. Systemets energi er dermed konstant i tiden, og problemet er ikke tidsavhengig selv om ballen beveger seg i tid. Denne måten å tenke på ser for mange ut til å være problematisk når en først lærer sin grunnleggende kvantemekanikk.

I behandlingen av problemet kommer vi til å fokusere på sprettballens impuls (eller bevegelsesmengde, om en vil), og ikke hastighet, som den fundamentale størrelsen for bevegelse. Klassisk vet vi at det ikke er noe problem å hente en fartsfortolkning fra impulsen, ved bare å dele på massen. Fra kvantemekanikkens ståsted er det nettopp impulsen som opptrer naturlig, slik at jeg her velger å fokusere på den. Hvorfor dette er tilfelle utdypes nærmere i fagene TFY4230 Statistisk fysikk og TEP4145 Klassisk mekanikk.

Klassisk behandling

Kvantemekanisk behandling

På samme måte som Newtons lover danner grunnlaget for den klassiske betrakningen av problemet, danner Schrödinger-ligningen grunnlaget for den kvantemekaniske betrakningen av problemet. Siden problemet er tidsuavhengig, lyder Schrödinger-ligningen

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\psi(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x)</math>,

hvor <math>\psi</math> er systemets bølgefunksjon og E er systemets energi. Bølgefunksjonen er simpelthen en funksjon som løser ligningen over, og som er normalisert til 1, dvs. at integralet av funksjonen er 1. Størrelsen <math>\hbar</math> er den reduserte Plancks konstant, også kalt Diracs konstant, som har verdien <math>h/(2\pi)</math>.

Innenfor rammene for behandlingen i denne korte introduksjon, kan Schrödinger-lingenen for problemet slik den er gitt over betraktes som like fundamental som Newtons lover.

Kvantemekanisk modellerer vi veggene som såkalte uendelige potensialbarriærer. Dette er områder der ballens potensielle energi er uendelig, altså hvor den rett og slett ikke kan oppholde seg. Verdien V(x) er dermed 0 for <math>x < L</math> og uendelig for <math>x > L</math>.

For området mellom veggene blir ligningen over

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\psi(x) = E_k\psi(x) \quad (1)</math> ,

som jo er en differensialligning med velkjente løsninger <math>\psi_k</math> på formen

<math>\psi_k (x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)</math>.

Utenfor området mellom veggene, tvinger den uendelige verdien til V bølgefunksjonen til å være identisk lik 0. Vi påkrever så at <math>\psi_k</math> er kontinuerlig i alle punkter. Dermed får vi kravet

<math>\psi_k(0) = 0 = \psi_k(L)</math>,

som gir at

<math>\psi_k (x) = A \sin(kx)</math>,

og

<math>k = \frac{n\pi}{L}\quad \text{for} \quad n \in \{ 1, 2, 3, \ldots \} </math>.

Ved innsetting i (1) fås

<math>E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2}</math>.

Problemet er løst. De mulige energiene for systemet er nettopp de gitt av <math>E_n</math> over.

---IKKE FERDIG---