Forskjell mellom versjoner av «MA3403 Algebraisk topologi I»

Nåværende revisjon fra 18. des. 2008 kl. 12:43

Feltet algebraisk topologi benytter algebra som verktøy for å klassifisere topologiske rom.

Vi kjenner for eksempel fra calculus at Greens teorem feiler for et punktert domene (f.eks. et område rundt 0 i <math>\mathbb{R}^2\backslash\{0\}</math>). Dette er en følge av rommets topologi. Det punkterte og det ordinære planet er topologisk forskjellige. Likeledes er 2-skiven og 1-sfæren helt klart forskjellige, men hvordan går en til verks med å stadfeste det? Et enda mer tilsynelatende banalt eksempel er spørsmålet om <math>\mathbb{R}^n \approx \mathbb{R}^m</math> impliserer n=m. Forsøk et direkte bevis. Som et siste motiverende eksempel kan nevnes Brouwers fikspunktteorem, som sier at enhver kontinuerlig funksjon fra n-skiven til seg selv har minst ett fikspunkt. Beviset for dette er høyst ikke-trivielt uten algebraisk topologi. Med reduserer det seg til et fåtalls linjer.

Faget begynner med å definere singulær homologi, og bygger opp en etter hvert betraktelig samling resultater rundt dette. Etter hvert innføres CW-komplekser, og deretter singulær homologi med koeffisienter i en hvilken som helst abelsk gruppe. Videre generaliseres hele teorien med innføring av Eilenberg-Steenrod-aksiomene som lar en behandle generelle homologi-teorier (hvorav det man har behandlet tidligere er ett tilfelle). Til slutt innføres kohomologi, og det vises hvorfor kohomologi er et kraftigere verktøy enn homologi ved å innføre ringstruktur i førstnevnte. Ringstrukten lar en så skille mellom rom som for gruppestrukturen til homologi (og kohomologi) tilsynelatende var like.