Forskjell mellom versjoner av «MA3403 Algebraisk topologi I»
(Førsteutkast.) |
|||
| Linje 5: | Linje 5: | ||
|obl=Ingen | |obl=Ingen | ||
|foreleser=[[Idar Hansen]] | |foreleser=[[Idar Hansen]] | ||
| − | |eksamen=Muntlig, 100% | + | |eksamen=Muntlig, 100% |
|bok={{Boklink|forfatter=Vick|tittel=Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology}} | |bok={{Boklink|forfatter=Vick|tittel=Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology}} | ||
|ov=Nei, men noen anbefalte oppgaver gis innvevd i forelesningene | |ov=Nei, men noen anbefalte oppgaver gis innvevd i forelesningene | ||
| Linje 12: | Linje 12: | ||
}} | }} | ||
| − | {{ | + | Feltet '''[http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_topology algebraisk topologi]''' benytter algebra som verktøy for å klassifisere topologiske rom. |
| + | |||
| + | Vi kjenner for eksempel fra calculus at Greens teorem feiler for et punktert domene (f.eks. en omegn av <math>\mathbb{R}^2</math>). Dette er en følge av rommets topologi. Det punkterte og det ordinære planet er topologisk ''forskjellige''. Likeledes er 2-skiven og 1-sfæren helt klart forskjellige, men hvordan går en til verks med å stadfeste det? Et enda mer tilsynelatende banalt eksempel er spørsmålet om <math>\mathbb{R}^n \approx \mathbb{R}^m</math> impliserer n=m. Forsøk et direkte bevis. Som et siste motiverende eksempel kan nevnes [http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed_point_theorem Brouwers fikspunktteorem], som sier at enhver glatt funksjon fra n-skiven til seg selv har minst ett fikspunkt. Beviset for dette er høyst ikke-trivielt uten algebraisk topologi. Med reduserer det seg til et fåtalls linjer. | ||
| + | |||
| + | Faget begynner med å definere singulær homologi, og bygger opp en etter hvert betraktelig samling resultater rundt dette. Etter hvert innføres [http://en.wikipedia.org/wiki/CW_complex CW-komplekser], og deretter singulær homologi med koeffisienter i en hvilken som helst abelsk gruppe. Videre generaliseres hele teorien med innføring av [http://en.wikipedia.org/wiki/Eilenberg-Steenrod_axioms Eilenberg-Steenrod-aksiomene] som lar en behandle generelle ''homologi-teorier'' (hvorav det man har behandlet tidligere har behandlet er ett tilfelle). Til slutt innføres kohomologi, og det vises hvorfor kohomologi er et kraftigere verktøy enn homologi ved å innføre ringstruktur i førstnevnte. Ringstrukten lar en så skille mellom rom som for gruppestrukturen til homologi (og kohomologi) tilsynelatende var like. | ||
| + | |||
[[Category:Fag|Algebraisk topologi I]] | [[Category:Fag|Algebraisk topologi I]] | ||
[[Category:Høstfag|Algebraisk topologi I]] | [[Category:Høstfag|Algebraisk topologi I]] | ||
[[Category:Mattefag|Algebraisk topologi I]] | [[Category:Mattefag|Algebraisk topologi I]] | ||
Revisjonen fra 18. des. 2008 kl. 12:22
| Foreleser: | Idar Hansen |
|---|---|
| Semester: | Høst |
| Obligatorisk for: | Ingen |
| Pop. forkortelser: | Algtop |
| Øvinger: | Nei, men noen anbefalte oppgaver gis innvevd i forelesningene |
| Evalueringsform: | Muntlig, 100% |
| Bøker: | Vick: Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology |
| Nettside: | http://www.math.ntnu.no/emner/MA3403/ |
Feltet algebraisk topologi benytter algebra som verktøy for å klassifisere topologiske rom.
Vi kjenner for eksempel fra calculus at Greens teorem feiler for et punktert domene (f.eks. en omegn av <math>\mathbb{R}^2</math>). Dette er en følge av rommets topologi. Det punkterte og det ordinære planet er topologisk forskjellige. Likeledes er 2-skiven og 1-sfæren helt klart forskjellige, men hvordan går en til verks med å stadfeste det? Et enda mer tilsynelatende banalt eksempel er spørsmålet om <math>\mathbb{R}^n \approx \mathbb{R}^m</math> impliserer n=m. Forsøk et direkte bevis. Som et siste motiverende eksempel kan nevnes Brouwers fikspunktteorem, som sier at enhver glatt funksjon fra n-skiven til seg selv har minst ett fikspunkt. Beviset for dette er høyst ikke-trivielt uten algebraisk topologi. Med reduserer det seg til et fåtalls linjer.
Faget begynner med å definere singulær homologi, og bygger opp en etter hvert betraktelig samling resultater rundt dette. Etter hvert innføres CW-komplekser, og deretter singulær homologi med koeffisienter i en hvilken som helst abelsk gruppe. Videre generaliseres hele teorien med innføring av Eilenberg-Steenrod-aksiomene som lar en behandle generelle homologi-teorier (hvorav det man har behandlet tidligere har behandlet er ett tilfelle). Til slutt innføres kohomologi, og det vises hvorfor kohomologi er et kraftigere verktøy enn homologi ved å innføre ringstruktur i førstnevnte. Ringstrukten lar en så skille mellom rom som for gruppestrukturen til homologi (og kohomologi) tilsynelatende var like.
